一年前，加密分析师 PlanB 发表了一篇文章，介绍了Bitoin Stock-to-Flow (S2F) 模型。从那时起，该价值模型在加密领域变得非常流行。经过几次市场的验证，比特币的价值和稀缺性之间的模型关系似乎得到了一定的证明的。但最近这一结论模型被证明是存在一定缺陷的，并提出了一种新的模型来克服这些缺陷。分布室（fenbushiBTC）试图通过模型发展的概述，并以一种易于理解的方式分解复杂的计量经济学之间的细微差异。
在央行无限量印钞的时代中，当你问一个人什么支撑着比特币有价值时，常见的回答是 「永远不会有超过2100万比特币」或「你不能制造出更多的比特币」。
根据某些奥地利经济学理论，稀缺性是货币的一种属性(分布室注：另外几种属性为可分割性、持久性、可移植性和可识别性)，它赋予货币价值。正如 Robert Breedlove 在《数字零和比特币》(The Number Zero and Bitcoin)中所描述的，比特币甚至实现了绝对的稀缺，这是一种只有在数字领域才可行的属性。
自比特币白皮书发布以来，稀缺性是比特币价值主张的一个关键方面的观点就一直存在，但找到一个合适的量化指标来衡量稀缺就不那么容易。《比特币标准》(the Bitcoin Standard)一书中，作者 Saifedean Ammous 用库存与流通比率(S2F)描述黄金的稀缺性，受此启发，分析师 PlanB 计划决定探索是否可以用 S2F 比率的来建模比特币价格。
S2F 比率的计算方法是用库存(总供应)除以资产的流量(新生产)。在 PlanB 的文章中，他将黄金的存量定义为为 185000T，其流通量为每年 3000T。因此，当时黄金的 S2F 比率为185000 / 3000 = 61.67，即四舍五入后为62。
图1：黄金 S2F 比率
然而，黄金的 S2F 比率随时间波动(图1)。当黄金价格相对较高时，黄金开采更有可行性，这也激励了矿工们这样做。结果流量增大，S2F 比减小。当黄金价格低时，采矿可行性降低，特别是在生产成本高、效率低的矿山。如果这些工厂停产或减产，黄金的流量就会减少，从而再次提高其 S2F 比率。
诸如黄金之类的资产难以获得或伪造的想法通常被定义为「不可伪造且成本高昂」，这个术语与Bit Gold 的创建者 Nick Szabo 相关。除了黄金（分布室注：S2F 62）和白银（分布室注：S2F 22）之外，几乎没有可以可靠地用 S2F 比率表示的货币资产，并且被认为是不可伪造的昂贵资产。
钯金（分布室注：S2F 1.1）和铂金（分布室注：S2F 0.4）等其他金属也相对稀少且难以获得，但主要用于工业生产。与每年的产量相比，它们的全球供应量相对较低，这意味着其生产者可以通过增加或减少产量而对市场价格产生重大影响，从而使这些资产不太适合用作货币资产。
在比特币领域，开采比特币的门槛非常低。任何拥有多余计算能力的人都可以加入这场激烈的竞争，成为下一个生产者，并获得新铸造的币和交易费用奖励。但是由于多年来形成的竞争，盈利是非常困难的。但从本质上讲，网络是开放的，任何人都可以加入。
然而，如果任何人都可以开始挖掘比特币，为什么它的 S2F 比率没有出现异常呢?
这主要是因为在 199 7年，Adam Back 引入了带有 Hashcash 的工作量证明(PoW)概念，这是一种用于限制垃圾邮件和拒绝服务攻击的系统。由于有一种称为「难度调整」的内置机制，PoW 系统会定期调整矿工需要通过添加或删除一个或多个数字来猜测的随机数的难度。
在比特币中，这种难度调整每 2016 个区块发生一次，大约 2 周(以10分钟区块间隔计算)。当网络增加了太多的计算能力，并且发现新块的速度比预期的要快时，难度就会增加。然后，矿工需要花费更多资源来获得同样的回报，效率较低矿工就会考虑离开网络。相反，当矿工离开网络并创建比预期更慢的区块时，难度就会降低，给矿工恢复的余地。而正是由于这一困难调整系统，比特币的存量和流量在一段时间内是可以预测的。
当比特币于 2009 年 1 月 3 日推出时，矿工每创建一个区块可以获得 50 个比特币挖矿奖励(分布室注：也称为「coinbase」，但不是同名交易所)。每 210000 个区块(大约4年)，奖励减半。在第一次减半(2012 年 11 月 28 日)之后，矿工区块奖励为 25 个比特币，第二次减半(2016 年 7 月 9 日)之后为 12.5 个比特币，本次减半(2020 年 5 月 11 日)区块奖励为 6.25 个比特币。
虽然区块被开采的确切时间是不确定的，但比特币的存量和流量在每个区块的基础上是完全可以预测的。
图2：比特币供应量(蓝色)和货币通胀(橙色)变化
因此，比特币的 S2F 比率可以在任何时间点进行计算。根据 Clark Moody 的数据，比特币目前的 S2F 比率为55，几乎与黄金一样稀缺。在 2024 年减半之后，它将超过黄金，成为世界上以S2F比率计算最稀缺的货币资产。
尽管如此，PlanB 试图通过使用数学模型来证明基于第一原则的假设——比特币的价格上涨可以归因于其日益增长的相对稀缺性是正确的，从而预测其未来的价格。
2019 年 3 月 22 日，PlanB 发表了《用稀缺性建模比特币价值》一文。为了直观地评估以 S2F 比率衡量的比特币稀缺性是否真的与价格有关，PlanB 在对数尺度上，确定了 1 和 10 之间的距离等于 10 和 100 之间的距离，等于 100 和 1000 之间的距离，以此类推，确定相对价格变化。
当 S2F 增加时，它的市场价值也会增加，因为所有的点都以对角线排列(分布室注：图3中的左图)，这被称为「线性关系」，可以使用统计技术，例如基于「普通最小二乘法」或OLS进行测试。如图所示，比特币的 S2F 比率与市场价值之间的关系确实是显著的。根据该模型，比特币历史价格的 94.7% 可以用其 S2F 比率来解释。PlanB 利用白银(灰点)和黄金(黄点)的 S2F 比率和市场价值交叉验证模型。发现两者与模型价格一致，这种关系可能也适用于所有资产的早期迹象。
图3：PlanB 原始比特币 S2F 模型
由于未来的比特币 S2F 比率可以预估，因此可以在时间图上绘制比特币的 S2F 比率和价格。尽管 PlanB 对于该参数模型进行了四舍五入, 但它预测在 2020 年减半后每枚比特币的价格为 55000 美元。分布室注：当 PlanB 发表文章时，比特币的价格是4000美元，刚刚从大幅下跌中恢复过来。
在接下来的几个月里，S2F 的其他几个版本问世了。这些模型使用略有不同的数据，例如，通过每天而不是每月或不同的时间窗口，从而预测了不同未来价格。广泛流行的S2F模型预测，在2020年5月减半之后，比特币的价格将在 10 万美元左右(图4)。
图 4 ：广泛流行的 S2F 模型版本
尽管许多比特币支持者对该模型的乐观价格预测欣喜若狂，但也有人提出批评它是「已定价」的。
人们对 S2F 模型提出的批评之一是既然比特币的供应时间表自推出以来就已为公众所知，它必须像有效市场假说所建议的那样「定价」。根据 PlanB 的说法，市场确实相当有效，因为简单的套利机会不再存在。尽管如此，他认为市场在结构上高估了风险，这为 S2F 模型作为投资评估工具留下了空间。
另一个批判观点是，S2F 模型中没有「价格是供求关系函数」的需求。虽然这一说法在技术上是正确的，但它忽略了一点，即统计模型从定义上来说是对现实的简化，而且永远不可能 100% 准确，但如果它们足够准确的话，仍然是有用的。
正如统计学家 George Box 曾经说过的:「所有的模型都是错的，但有些是有用的。」
尽管 S2F 模型中没有包含需求，但它占比特币价格方差的近 95% 这一事实似乎足以表明，它足够准确。
在 S2F 模型中可以看到相关性高于预期，特别是在两个趋势相同的时间序列中，可以在两个完全没有关系的变量之间找到高相关性(分布室注：参见图5)。
图 5：两个时间序列变量之间虚假但非常强的相关性
荷兰计量经济学家 Marcel Burger 在 2019 年 7 月发表的一篇评论文章中也提到了 S2F 模型的结果可能是假的。Burger 复制了 S2F 模型，并测试了该模型是否满足使用这些技术所需的统计要求，Burger 发现了与模型的基本假设相关的缺陷，并建议对模型进行改进。
在 2019 年 8 月 11 日的一份出版物中，澳大利亚统计学家 Nick Emblow (phraudsta) 指出了 Burger 的不足之处。Emblow 的工作改进了最初的 S2F 模型，采用了一种不同的统计技术(向量误差修正模型)来克服 Burger 发现的统计局限性。更重要的是，Emblow 发现比特币的 S2F 比率和价格是「协整」（cointegration）的，这意味着两者之间确定的长期关系实际上并不是虚假的。
为了解释什么是协整，Emblow 用了一个关于一个「醉汉遛狗」的类比：想象一下他们四处溜达，偶尔都往不同的方向走，但由于连接他们的纽带，仍然保持着密切的距离。在这里，醉汉和他的狗是「协整在一起的」;它们是相互联系的，并且最终都将在同一个地方结束——不管那个地方是哪里。
反之，如果一个醉汉在回家的路上，一只流浪狗经过他的路，他们都在一起散步，但是如果一辆车开过，把狗吓跑了，这种关系就没有意义了。
在他的结论中，Emblow 认为这个类比需要改变，以适用于比特币 S2F 模型。因为 S2F 比率变量实际上是相当恒定的，不像醉汉或他的狗，它会更适合考虑比特币的价格是醉汉和，而 S2F 比率是回家的路。
不久之后，在 2019 年 9 月，Marcel Burger 复制了 Emblow 的发现。当月晚些时候，巴伐利亚州银行(BayernLB)的德国高级分析师 Manuel Andersch 也做了同样的事情。在这些确认之后，S2F 模型被广泛认为在统计上是有效的，并且变得更加流行。
在 2020 年 3 月，比特币Elf 建议 Emblow 探索比特币减半是否应该被视为 S2F 比率时间序列中的「结构性突变」。大约在同一时间，Marcel Burger 发表了一篇文章，其中他提到了一份学术刊物也涵盖了这个主题。
图6：时间序列中结构突变的例子
根据该文章，结构性突变是由于体制、政策方向和外部冲击等因素的变化而导致的经济时间序列的突然跳升或下降。（分布室注：图6展示了一些结构中断的例子）
Emblow (phraudsta) 运用了统计测试得出的结论是，减半事件确实应该被视为结构性突破而需要加以考虑。然而，当减半事件的影响被移除时，S2F 变量失去了它的大部分趋势。通过每两周难度调整修正的暂时波动是 S2F 变量中仅存的方差来源（图7）。
图7：比特币 S2F 比率(红线)前(左)和后(右)的校正
Emblow 继续测试 S2F 变量是「平稳」(有趋势)还是「非平稳」(没有趋势)。他发现，在去除 S2F 变量中减半事件的影响后，它不再具有长期趋势，变成了「平稳」，不像比特币的价格明显是「非平稳」的。在一个平稳的过程中，这些值会随着时间的变化而上下波动，但会保持在一个平均值附近(分布室注：图8，上图)。在非平稳过程中，值也会上升和下降，但不会恢复到平均值(分布室注：图8，下图)。
图8：平稳(无趋势)和非平稳(有趋势)变量示例
虽然这看起来像是一个小而过于详细的统计讨论，但它的多米诺骨牌效应相当大:发现比特币的 S2F 比率是固定的，而价格却不是，意味着不应该应用协整检验。随后，这意味着不再证明 S2F 比率之间的关系不是虚假的。虽然这并没有在统计上使 S2F 模型本身失效，也不意味着 S2F 比率和价格之间的关系是虚假的，但它重新引入了不确定性。毕竟，如果这种关系可能是假的，那就意味着比特币价格在任何时候都不可能偏离 S2F 比率的趋势。
在 Emblow 的文章之后，有很多关于这个话题的讨论。模型中使用了比特币的S2F 比率来衡量稀缺性，而减半显然是为了成为比特币长期稀缺性的核心和灵魂。如果你移除了 S2F 变量最重要的稀缺成分，用它的剩余部分来测试「稀缺是否会推动价格」，可能并不是必要的。
5 月 12 日，埃克塞特大学(University of Exeter)助理教授、计量经济学时间序列分析专家 Sebastian Kripfganz 在「比特币价值大会」上的一场演讲更是引发了轩然大波。
Kripfganz 在演讲中描述了 S2F 比率的时间序列对半事件的影响确实需要加以解释，但却给出了不同的解释：因为它是确定性的。Kripfganz 没有详细解释这一点。对他来说，这似乎是生活的现实；你不能在这些时间序列分析中使用确定性变量。这和 Emblow 的分析中看到的含义是一样的:在考虑了之后发现比特币的 S2F 比率是固定的，使得无法进行「协整」分析。
Kripfganz 继续使用另一种统计技术(分布室注：自回归分布式滞后或 ARDL 模型)来测试长期比特币价格是否可以建模。Kripfganz 的结论是，无论是比特币的 S2F 比率还是减半效应，都无法解释比特币的长期价格，从统计学角度来说，最好将其描述为「随机游走」。这意味着，虽然比特币的价格迄今呈上升趋势，但它本质上是一种「随机游走」，这意味着它可以去任何地方。
虽然 Kripfganz 的分析受到高度重视，但是由于 S2F 比率变量是确定性的，因此有必要消除 S2F 比率变量中减半事件的影响，这一点并没有立即得到很好的理解。
5 月 20 日，Marcel Burger 发表了一篇文章，澄清了 Kripfganz 发起的「决定论之争」。Marcel Burger 深入研究了有关时间序列分析的学术文献，这些文献可以追溯到 1938 年，并得出结论，Kripfganz 是对的。所进行的协整分析只能应用于不含确定性成分的时间序列。
为什么不能使用带有确定性成分的时间序列是统计学中一个更深、更复杂的难题，其含义很简单：如果你玩一个游戏，你必须遵守它的规则。在这种情况下，不能使用统计方法来证明它不能测试的东西。
就像之前的 Emblow 一样，Burger 在事后得出结论，他之前的协整分析方法应用不当，使得他之前关于比特币的 S2F 比率和价格是协整的结论无效。Burger 强调，这并不意味着比特币的 S2F 比率和价格之间的关系是虚假的，S2F 模型是无用的，只是现在不太确定。
在他的演讲之后，Kripfganz 提到，模型中确定的上升趋势中，稀缺性仍然发挥着作用，但是从统计学的角度来看，这是不可能证明的。这表明我们已经达到了用现在可用的时间序列分析方法在统计上可能证明的极限。
图9：Nick Emblow 的推文
然而，Emblow 不同意不可能证明 S2F 比率和市场价值是完全相关的，并暗示使用交叉资产信息可能是克服时间序列分析的局限性的一种方法（图9）。
4 月 27 日，在关于协整的讨论达到顶峰的几周前，PlanB 已经引入了 Emblow 暗示的比特币股票到流通交叉资产(S2FX)模型。该模型基于多种资产的数据，将白银和黄金的数据引入方程。通过这样做，新模型不再是时间序列，因为使用的数据点不再是按时间顺序排列的。
无论是否具有确定性，比特币的 S2F比率都随着时间的推移而明显增加。但要创建一个跨资产模型，需要确定使用哪个时间点作为比特币的数据点，以及随着比特币逐渐被人们接受，比特币的货币属性是否会随着时间发生变化。
PlanB 从协整下降的角度探讨了这一点，一个经典的例子是水，它从固体形态转变为液体、气体，并最终在温度升高时电离。PlanB 表示可以说美元也经历了阶段性转变。美元最初是一种金币，后来变成了一种银币，一种以黄金为背景的纸币，从1971 年开始变成一种没有任何背景的纸币。
2018 年 7 月，Nic Carter 和 Hasu 发表了《比特币的愿景——比特币的主要叙事如何随时间变化》，描述了比特币被描述的方式如何随时间变化(图10)。
图10：比特币多种定义随时间演变
根据 PlanB ，这些可以合并为四个主要阶段:
概念证明: 网络启动后立即进行
支付：比特币达到美元平价后(1 BTC = 1美元)。
E-Gold：在第一次减半之后，当比特币接近黄金平价(1 BTC = 1盎司黄金)。
金融资产:：第二次减半后，比特币达到了每天 10 亿美元的交易量里程碑。
图11：比特币 S2FX 模型
基于这四个阶段，PlanB 应用了一种算法来识别每月比特币数据点的四个集群。这些集群的中心(分布室注：图11 中的黄色、橙色和红色圆点)表示将在统计建模中使用的数据点。这些数据点由白银(灰色点)和黄金(金色点)的另外两个数据点补充。
使用与原始 S2F 模型相同的方法，PlanB发现该模型可以解释 6 个交叉资产数据点中 99.7% 的方差。与 S2F 模型相比，S2FX 模型的解释方差更高，对未来价格的预测更为乐观，它预测在当前的减半期(2020-2024年)，每枚比特币的价格约为288000美元。
S2FX 模型很受欢迎，但也收到了批评。最常听到的讨论是基于 6 个数据点创建模型是否足够有说服力，因为由于数据量少，模型的参数和预测可能会随着数据量的增加而改变。
对于 PlanB 来说，基于这 6 个数据点的结果确实足以让他相信 S2F 比率和市场价值之间确实存在关系。但批判者认为，他仅用 6 个随机数据点就能找到 99.7% 的解释方差的概率很低(图12)。
图12：PlanB推特
在 Nick Emblow (phraudsta) 5月7日的文章《S2FX-阶段5估算》中，他复制了S2FX 模型并计算了围绕预测价格的不确定性边际。在他的 S2FX 模型版本中，Emblow 发现一个预测价格比 PlanB 的预测价格略高(350000美元)。虽然 S2F 比率在统计上是一个非常重要的价格预测指标，但由于样本量较小，预测价格的不确定性边际较大。根据 Emblow 的计算，阶段5的预测价格可能在 83000 美元到1480000 美元之间(图13)，但实际价格也可能进一步偏离预测价格。
图13: Emblow基于S2FX模型对比特币价格预测
人们也可以质疑将比特币数据分割成四种不同的资产，并假设这些资产是独立的数据点是否真的合适。毕竟，比特币集群的形成是有时间限制的，否则预测第五阶段是不可能的。
最后，如果认为这种集群方法是合适的，那么仍然会怀疑 4 个集群是否确实是正确的数量。由于相对于 S2F 比率而言，价格呈明显的上升趋势，因此对 S2F 比率进行调整仍可能得出两者之间存在显著关系的结论，但模型预测的价格可能因此发生变化。
就像他的文章中提到的 PlanB 说法一样，理想的模型需要通过添加更多的资产来扩展。如果不使用比特币数据建立模型，仅以比特币为基准，证明 S2F 比率与货币资产的市场价值之间存在关系，那么这一理论将得到加强。虽然这在理论上听起来不错，但在实践中应用起来却要困难得多，因为要使用的适当资产实际上是相当困难的。
5 月 2 日，Gray Swan Digital 首席执行官兼 CME 前交易员 Peter Harrigan 首次尝试扩展交叉资产模型。他发表了一篇「比特币从股票到流通的交叉资产模型在房产上运行良好」的文章，探索了在 S2FX 模型中增加另一种资产类别(住房)。正如他的文章标题所暗示的那样，这一添加似乎与 S2FX 模型重合度很高。
在详细计算的基础上，Harrigan 确定了美国住房市场的 S2F 比率和在「平方英尺」和「附加值」背景下的市场价值。这两个新的数据点似乎与 S2FX 模型预测的市场价值非常吻合(图14)。
图14:通过为「增值」(绿点)和「平方英尺」(蓝点)的住房市场数据点扩展S2FX模型
PlanB 目前正在考虑进行类似的分析，将钻石和欧洲住房市场数据加入到 S2FX 模型中，并已分享了初步结果，表明至少后者似乎也同样适用于该模型。
向 S2FX 模型添加更多的资产并验证使用的数据源的准确性应该是未来研究的主要重点。虽然这样做可能会增强模型的复杂性，但也可能导致模型的预测估值发生变化。因此，重要的是要认识到，人们应该谨慎地接受讨论的模型所预测的准确估值，并把这项工作更多地作为检验稀缺驱动价值这一基本价值主张的证据表现。
参考资料：
https://medium.com/@breedlove22/the-number-zero-and-bitcoin-4c193336db5b
https://saifedean.com/book/
https://www.goldbroker.com/news/above-ground-gold-stock-how-much-is-there-why-does-matter-546
https://unenumerated.blogspot.com/2005/10/antiques-time-gold-and-bit-gold.html
https://chart-studio.plotly.com/~BashCo/5.embed
https://medium.com/@100trillionUSD/modeling-bitcoins-value-with-scarcity-91fa0fc03e25
https://s2f.hamal.nl/s2fcharts.html
http://tylervigen.com/spurious-correlations
https://medium.com/burgercrypto-com/reviewing-modelling-bitcoins-value-with-scarcity-part-iii-the-fall-of-cointegration-ec5a8267098a
https://medium.com/@btconometrics/falsifying-stock-to-flow-as-a-model-of-bitcoin-value-b2d9e61f68af
https://medium.com/burgercrypto-com/reviewing-modelling-bitcoins-value-with-scarcity-part-ii-the-hunt-for-cointegration-66a8dcedd7ef
https://medium.com/burgercrypto-com/reviewing-modelling-bitcoins-value-with-scarcity-part-iv-the-theoretical-framework-leading-d248ae87a138
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405918817300405
https://medium.com/@btconometrics/stock-to-flow-influences-on-bitcoin-price-8a52e475c7a1
https://www.youtube.com/watch?v=k1evvOBXel0&list=PLAt38L_ceKIoa56WQt05ZuzlxnW0rmhky&index=3&t=1957s
https://medium.com/burgercrypto-com/reviewing-modelling-bitcoins-value-with-scarcity-part-iii-the-fall-of-cointegration-ec5a8267098a
https://twitter.com/btconometrics/status/1261682518912192518
https://medium.com/@nic__carter/visions-of-bitcoin-4b7b7cbcd24c
https://twitter.com/100trillionUSD/status/1258015087073386498
https://medium.com/greyswandigital/testing-plan-s-cross-asset-stock-to-flow-model-on-housing-c84889304ddf
https://twitter.com/100trillionUSD/status/1263118694579920899?s=20
2295305