《图灵完备》游戏攻略第二章：算术运算和存储器——二进制速算

币格
2023-09-12
栏目：区块链基本技术
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《图灵完备 Turing Complete》游戏攻略保姆级详解。

第二章：算术运算和存储器

前言
我们进入了第二章：算术运算和存储器。在第二章中，我们将会有两条支路，我们要研究算术运算和存储器，最后会制作出逻辑引擎、“小盒子”、计数器等。

二进制速算

在开始之前，我们先复习一下学过的逻辑门：

汉语	英语	性质
与门	AND	全绿就绿
或门	OR	有绿就绿
非门	NOT	就是叛逆
或非门	NOR	全红就绿
与非门	NAND	全绿就红
同或门	XNOR	不同就红
异或门	XOR	不同就绿

关卡解析

这一关和其他关卡不太一样，它更像是一个小游戏。你需要在玩这个小游戏的过程中，理解二进制的几个特点。这个小游戏并不难，你可以先自己玩，再听我来解析。具体玩法就是用下面的数字拼出来他给的数字。

这关貌似有个BUG，它说必须通关3级，实际上必须把5级都玩完。

二进制

我们生活中有很多种进制，例如最常用的十进制，表达色彩用的十六进制，表达时间用的六十进制，计算机底层使用的二进制等等。我们先来说说进制是什么。
从十进制说起，顾名思义就是逢10进1，例如：0-1-2-3-4-5-6-7-8-9，这时候就不能继续数了，要进1位，即：10-11-12-13-... 。我们可以看出，在十进制中，其实是没有“十”这个数字的，所谓的“10”，其实只是进了一位，是由“1”和“0”拼起来的。
我们再看看十六进制，十六进制在数到9之后是可以不进位继续数的，例如：0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-A-B-C-D-E-F，数到F就不能继续数了，需要进行进位，即：A1-A2-A3-A4-...，接下来一直数到FF，就需要再进位一次，变成：AA1-AA2-... 。
也就是说，是几进制，这个数字就不存在，数到这个数字的前一位就不能数了。如果要继续往下数，就得进位。
现在我们再来看二进制，2-1＝1，也就是说，二进制在数到1的时候就不能往下数了，必须要进位。所以，它是这样数数的：0-1-10-11-100-101-110-111-1000-... 。二进制就是即逢2进1，2不存在，是由“1”和“0”拼起来的。请确保你理解了二进制是什么。

位权

说了这么多，这个关卡到底需要我们明白什么？我们还需要引入新的概念——位权。

位权＝基数位数-1

其中，几进制基数就是几。在二进制中，可以这样书写：

位权＝2位数-1

假设我们现在有一个8位的二进制数10101010，那么根据公式计算，可得它每一位的位权分别是：128、64、32、16、8、4、2、1。你有没有发现，这和本关下方的按钮是一样的？

现在，我来举几个例子，你对照上图，就能发现其中的奥妙：

二进制100转化为十进制是多少？是4
二进制10000转化为十进制是多少？是16
二进制10100转化为十进制是多少？是4+16＝20

还不懂？我再举几个：

二进制10转化为十进制是多少？是2
二进制111000转化为十进制是多少？是32+16+8＝56
二进制10010101转化为十进制是多少？是128+16+4+1=149
二进制11111111转化为十进制是多少？是128+64+32+16+8+4+2+1=255

明白了吗？这对进制转换有很大的帮助。现在你可以尝试以这种思路，再次游玩本关卡。

成对的麻烦

关卡解析

我们输入已经拓展到了4个。现在来观察真值表，找到规律。

规律就是：“当有≥2个绿，输出绿”这关的解决方法也比较简单。首先把四个输入端两两接入与门检测，根据我们小学就学过的排列组合，4个输入端的排列方式有：

(1,2), (1,3), (1,4),
(2,3), (2,4),
(3,4)

共6种组合方式，因此我们需要用到6个与门：

将它门按照我们策划过的排列组合进行连接：

然后将这些结果使用或门连接，我们可以使用2个三路或门+1个或门：

本关最终答案
这样就完成了，但是不知道有没有更好的方法。

奇数个信号

关卡解析
本关要求我们使用3个元件，实现“输入绿为奇数个，就输出绿”。

首先我们要先看到问题的本质，假设我们现在只有两个输入端口，那么我们如果想判断是否是奇数个为绿，其实我们判断的就是这两个输入是不是一个绿一个红。那么什么逻辑门是能解决这个问题的呢？是异或门。

这种情况下，“判断输入是否不同”==“判断绿色是不是奇数个”。当我们的输入数拓展到4个，其实问题也是如此。我们只需要先判断两个，然后判断后两个，再把这两个判断结果放在一起判断即可。

本关最终答案

循环依赖

循环依赖是指一个或多个对象之间存在直接或间接的依赖关系，这种依赖关系构成一个环形调用，有下面 3 种方式。

图片来源于 https://www.elecfans.com/d/1891334.html
在本游戏中，至少目前，循环依赖是被禁止的。在某些电路中，循环依赖是被允许的。目前你不需要知道哪些电路是被允许的。

关卡解析

我们构建一个受自身影响的电路即可。也就是说，一个元件的输出连接到自身的输入上，例如：

本关最终答案

其实此结构也可以满足测试2的要求：

信号计数

关卡解析
如果你还没有学习二进制相关知识，可以在目录里查找学习。
本关较为复杂，用到了很多之前的知识，我们需要一点点思考，解决问题。

请务必先理解本关的目标：

我们的输出端一共有3个引脚，分别是1、2、4。这3个引脚是怎么运作的呢？是这样的：

第一个被点亮了结果就+1
第二个被点亮了结果就+2
第三个被点亮了结果就+4

也就是说：

输入端亮了1个→让输出端的第一个亮
输入端亮了2个→让输出端的第二个亮
输入端亮了4个→让输出端的第三个亮

也许你会问：“那如果亮了三个，该怎么办？”，其实这就是我们这关需要解决的最大问题。我们不妨先把前三种情况做出来，先忘掉亮了三个这种情况。
先解决第一个：如何判断输入端是否有1个绿？因为输入端有几个绿只有四种情况，即1个、2个、3个、4个。而且“3个”这种情况先被我们刨除在外了，就只剩下1个、2个、4个这三种情况。在剩下的三种情况中，显然只有“1个”是奇数，而“2个”和“4个”都是偶数，所以“1个”是最好确定的。
还记得我们之前有一关叫什么名字吗？“奇数个信号”，我们是学习过如何判断奇数个信号的：

这种情况下，“判断输入是否不同”==“判断绿色是不是奇数个”

我们可以直接沿用“奇数个信号”的电路：

观察真值表，我们可以发现，所有预期输出1的地方，全都正确了。
现在我们来考虑：如何判断输入端是否有2个绿？我们好好回忆一下，其实我们做过类似的电路。记不记得我们做过一个电路：“如果≥2个绿，则输出绿”？没错，是在“成对的麻烦”那关。现在我们只要把电路改成：“如果≥2个绿，且不是4个绿，则输出到第2个端口”即可。

现在我们来回忆一下：如果想判断是不是有两个是绿，只需要成对进行与门判断，然后再用或门连接即可。我们将这个电路做出来：

然后，我们将刚才做的两个电路，结合一下。注意，该插在哪个孔的还要插在哪个孔。

运行后发现，我们不仅解决了2的问题，还解决了我们刨除掉的3的问题，这是为什么？很简单，因为1+2＝3，这用到了我们之前的进制转换原理。我们做好了1的电路，2的电路，当这两个电路叠加在一起，自然就是3的电路。

现在，我们只差4的电路，我们只要检测四个输入端口是否全是绿色即可，这很简单。先两两判断，然后再总的判断：

接下来，我们将3个电路合在一起。注意，该插在哪个孔的还要插在哪个孔。

运行后发现，还是不能准确的判断4的结果，显示为6。分析，错误源于“当同时出现4个绿色时，必然同时出现2个绿色”，因此，4+2＝6。我们需要想办法做到“当同时出现4个绿色时，使2的电路失效”。我们只需要在2路和3路上加一个异或门，也就是“在2路和3路中，只有1个输出绿色时，才能在2路输出绿色”，可以理解为“只有在3路关闭时，2路才能启用”。这就是本关的完整电路：