大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和

陈景润

中国科学院数学研究所

摘  要

• 本文的目的在于用筛法证明了：每一充分大的偶数是一个素数及一个不超过两个素数乘积之和
• 关于孪生素数问题亦得到类似的结果

一、引言

把命题“每一个充分大的偶数都能表示为一个素数及一个不超过a个素数的乘积之和”简记为(1,a)。

不少数学工作者改进了筛法及素数分布的某些结果, 并用以改善(1,a) 。现在我们将(1,a) 发展历史简述如下：

在文献[10]中我们给出了(1,2)的证明提要。

命为适合下列条件的素数p的个数：

或

其中都是素数

用x表一充分大的偶数。命

对于任意给定的偶数h及充分大的x,用表示满足下面条件的素数p的个数:

其中都是素数

本文目的在于证明并改进作者在文献[10]所提及的全部结果, 现在详述如下。

定理1、

定理2、对于任意偶数h,都存在无限多个素数p,使得p+h的素因子的个数不超过2个及

在证明定理1时, 主要用到了木文中的引理8和引理9,在证明引理8时, 我们使用较为简单的数字计算方法,而证明引理9时, 我们使用了Bombieri定理[9]及Richert[11]中的一个结果。

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二、几个引理

证。我们先来证明

故有

其中

令

其中

其中

由（7）式, （8）式, （9）式及（10）式, 本引理得证。

引理6，我们有

证。令

则有

故有

其中

其中

及

令

则有

由引理1，本引理得证。

引理8，设x是大偶数, 则有

证.当x很大时,由引理5到引理7, 我们有

又有

及

由（23）和（24）式，引理8得证.

引理9.设x是大偶数, 则有

又有

由（26）和（27）式, 我们有

故引理9得证.

三、结果

显见，我们有

由（28）式、引理8和引理9, 即得到定理1

的证明
完全类似的方法可得到定理2的证明.
致谢：作者对阂嗣鹤同志和王元同志给予的帮助, 表示衷心的感谢.

参考文献